為了了解 Pooling Design 我們先看一個簡單的例子。

1 ~ 6 號六位役男的愛滋病檢測表及檢測結果

假設有某一種昂貴的檢測劑可測量血液中是否有愛滋病毒： 當血液中有愛滋病毒時， 與此檢驗劑混合會呈陽性反應， 如果沒有病毒則會呈陰性反應。 今假設兵役單位已抽取 1~ 6 號六位役男的血液備用。 未檢驗前已經知道此六位役男中最多只有一位感染愛滋病， 我們想知道是哪一位、 或者根本六人都未染病。 如果以檢測劑一一測試六位役男的的血液， 則需要六劑檢測劑。 上表提供一種只要四劑就足夠測驗六人的方法。 這個方法每一次檢測一群人的混合血液， 以檢測一為例： 我們將 1號、 2 號、 3號 三人血液混合一起檢測， 其結果呈陽性， 所以顯示三人中有一人帶愛滋病毒。 檢測二取了 1號、 4號、 5號而結果呈陰性， 所以這三人都不帶病毒。 由以上兩檢測得知 2 號和 3 號其中必有一人帶愛滋病毒。 利用類似討論於檢測三， 也可排除 2 號感染的可能性， 所以 3 號是染愛滋病者。 更詳細的討論可以知道不管哪一種檢測結果都可以知道哪一位染愛滋病。 以上四次的檢測是事先安排好以讓四次檢測同時進行， 我們要求不能參考檢測一的結果再決定檢測二時要檢測哪些人的混合血液。

問題一: 假設已抽取 18 位役男的血液待測， 且假設其中最多只有一位感染愛滋病。 試仿上表設計一種使用 t 個檢測劑就能成功的檢測表， 其中 t < 18 且愈小愈好。 試將數字 18 換成任意自然數 n 而推廣你們的結果。

問題二: 假設已抽取 n 位役男的血液待測， 且假設其中最多只有兩位感染愛滋病。 試討論使用 t 個檢測劑能成功檢測 n 位役男的檢測表所具有的數學性質， 並自行選擇兩個差距愈大愈好的數 t < n， 建構此表。

上述問題就是 Pooling Design 的研究。想要找一個好的方法解決上述問題就是要找一個好的 Pooling Design。其他數學領域如群論、有限幾何、設計理論、編碼理論、圖論、結合方案(association schemes) 都能提供好的 Pooling Design 建構方法。這也與極值集合論(extremal set theory)的研究有關。